Question

泰勒公式求极限。。

x->∞时 （x^3 +3*x^2)^1/3 -(x^4-2*x^3)^1/4 的极限
请说下怎么用泰勒公式求这个式子的极限，特别的想问一下，求导以后，导数的分母部分不能带入0，迈克劳林公式就没法套用，这样的情况一般该如何解决？还有这种类型的求导有没有什么套路可以简化下计算过程的。。希望能给个详细的解答过程，谢谢了。。。

Answer 1

解：∵(1+x)^α=1+αx+α(α-1)(x²/2)+o(x²) (泰勒公式，o(x)是高阶无穷小)
∴(x³+3x²)^(1/3)=x(1+3/x)^(1/3)
=x[1+(1/3)(3/x)+(1/3)(1/3-1)((3/x)²/2)+o(1/x²)] (应用上式泰勒公式展开)
=x[1+1/x-1/x²+o(1/x²)]
=x+1-1/x+o(1/x)
(x^4-2x³)^(1/4)=x(1-2/x)^(1/4)
=x[1+(1/4)(-2/x)+(1/4)(1/4-1)((-2/x)²/2)+o(1/x²)] (应用上式泰勒公式展开)
=x[1-1/(2x)-3/(8x²)+o(1/x²)]
=x-1/2-3/(8x)+o(1/x)
故 原式=lim(x->∞)[(x+1-1/x+o(1/x))-(x-1/2-3/(8x)+o(1/x))]
=lim(x->∞)[3/2-5/(8x)+o(1/x)]
=3/2-0+0 (lim(x->∞)[o(1/x)]=0)
=3/2。

Answer 2

（x^3 +3*x^2)^1/3 -(x^4-2*x^3)^1/4
= x [ (1+3/x)^{1/3} - (1-2/x)^{1/4} ]
只要会f(t)=(1+t)^a的Maclaurin展开就行了

追问

那个。。好人做到底吧。。。能麻烦你把这个展开办法说下么。。。。

追答

那你是不是想懒人做到底呢
一楼已经补充完整了，但我并不认为你能据此举一反三，自己动脑子才能掌握。

追问

哎。。。第一次追问的时候1楼并没有补充。。。而且我的确是没找到你那个展开方法才追问的呀。。什么道理就直接判定为懒人了。。。

Answer 3

我想帮你看一看但（x^3 +3*x^2)^1/3 -(x^4-2*x^3)^1/4啥意思？？

追问

额。。。就是前面那个开3次方，后面开4次方

Answer 4

分母？
这两个式子 是 相减 还是相除？

追问

相减

追答

（x^3 +3*x^2)^1/3 -(x^4-2*x^3)^1/4
= x [ (1+3/x)^{1/3} - (1-2/x)^{1/4} ]
现在把 1/x 换成t 方便一点， 这样就求 t 到0 的极限
(1+3t)^1/3-(1-2t)^1/4
= lim ----------------------------
t
上面 用泰勒展开就行了 展开到 (1+t) - (1-t/2) 就行了
因为t的一次方没有被抵消 得到3/2t
极限等于 3/2