Question

线性代数证明

如何证明这个结论？我不清楚的点在于，如何证出这k+1个向量中任意k个线性无关？秩为k我知道

Answer 1

1）如果r(A+E)=0，即A=-E，显然成立2）如果1≤r(A+E)≤n-1，则1≤r(A-E)≤n-1(A-E)x=0具有n-r(A-E)个线性无关的解，这些解同时也是(A+E)(A-E)x=0即(A^2-E)x=0的解(A+E)x=0具有n-r(A+E)个线性无关的解，这些解同时也是(A-E)(A+E)x=0即(A^2-E)x=0的解-1和1是A的不同特征根，所以(A-E)x=0与(A+E)x=0的解向量线性无关所以(A^2-E)x=0具有(n-r(A+E))+(n-r(A-E))=2n-n=n个线性无关的解，即r(A^2-E)=n-n=0，所以A^2=E
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Answer 2

由等价就知道秩相等，则r2=r1=k，所谓的秩，就是向量组中无关向量的个数，所以2中任意k个向量线性无关。

Answer 3

我的理解是把II中的k+1，理解为I中的K，这样其实就是II和I等价了。
有点绕，楼主可以多琢磨下。

Answer 4

就用秩理论，答案已经说的很清楚了。

追问

含有k+1个向量的向量组(II)秩为k为什么能推出任意k个线性无关

追答

因为有前提条件λi 都不等于0

追问

其实我应该问ak+1是不是不能被a1到ak-1这k-1个线性无关向量表示

这里我有点捋不清

追答

需要证明吗？

追问

ak+1能被不为零的λi用a1到ak这k个线性无关的向量表出，是不是不能被a1到ak-1这k-1个向量表出

追答

综上可推出矛盾

不过的确不是秩理论可以直接推出的

追问

我先思考一下

追答

我可能写的有点看不清，不懂可以再来问我，反正就是反证法

追问

好，看明白了，太强了

十分感谢

追答

不客气啦，我也当做一道证明题了

不过还是麻烦采纳一下😄