Question

如图，已知：∠GBC、∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H.求证BC=CE

Answer 1

证明：注意到F是△ABC的旁心，于是，∠ECF=∠BEF，又CH=CH,∠CHE=∠CHB=90°，故△CHB≌△CHE，则BC=CE.

▇
PS：关于旁心的一点说明：旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。证明一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线相交于一点，可假设点F是∠A的内角平分线和∠B的外角平分线交点。从F向直线AB,BC,CA做垂线，分别交直线AB,BC,CA于P,Q,R。则易知FP=FR,FP=FQ,于是FR=FQ，则∠C的外角平分线过点F，这就意味着∠A的内角平分线和∠B，∠C的外角平分线交于一点。