Question

一道平面向量证明题

Answer 1

依题意，假设L就是过重心G的一条直线，若能证明出1/x+1/y=3也就能说明问题：1/x+1/y=3
的充要条件是：直线L恒过△ABC重心G.
下面就证明过G的直线L能推导出1/x+1/y=3
延长AG交BC于M
由直线的向量形式的参数方程得：（打“向量”太麻烦，下面我都不打向量二字，写在前的表起点，写在后的表终点）AG=kAD+(1-k)AE
因为AD=xAB,AE=yAC
所以AG=kxAB+(1-k)yAC
①
又G为三角形的重心，所以M为三角形的中线（即M为BC中点）
所以AM=1/2AB+1/2AC
且AG=2/3AM,得到AG=1/3AB+1/3AC
②
所以由①②：1/3AB+1/3AC=kxAB+(1-k)yAC
所以1/3=kx,1/3=(1-k)y
消去k得1/x+1/y=3
希望我的回答你能满意！

Answer 2

证明：连接AM，在三角形ABC中AM是中线，所以向量AM=1/2（向量AB+向量AC）=1/2(1/a
*向量AP+1/b*
向量AQ）=1/2a *
向量AP+1/2b
*向量AQ）
由于AM，AP，AQ是同起点且终点共线的三个向量，根据相关知识，有其中一个向量用另两个向量乘以合适系数然后相加表示时，其系数之和恒定为1.即有1/2a
+1/2b=1，可求得1/a
+
1/b
=
2