Question

已知:如图,边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF,则△AEF的内切圆半径为

已知:如图,边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF,则△AEF的内切圆半径为_________. 解答过程一起
注意（是求△AEF的内切圆的半径）

Answer 1

说明：条件“边长为a的正△ABC”是多余的，因为知道了正三角形边长就能求出它的内切圆半径。
解：∵根据正三角形的性质知道，它的内切圆圆心就是它的重心（或垂心），
它的内切圆的切点就是它边的中点
∴它的内切圆半径是它的中线长的2/3倍
∵正△DEF的边长为b
∴正△DEF的中线长是√3/2b
故正△DEF的内切圆半径=(2/3)*(√3/2b)=b/√3。

Answer 2

设内接圆半径为d
容易证明△AEF、△BED、△CDF两两全等,则AE+AF=AE+BE=a
那么
S△ABC=S△DEF+S△AEF+S△BED+S△CDF=S△DEF+3S△AEF
S△ABC=√3a*a/4
S△DEF=√3b*b/4
S△AEF=(AE+AF+EF)*d/2=(a+b)*d/2
代入得√3a*a/4=√3b*b/4+3(a+b)*d/2
d=√3(a-b)/6