Question

求圆心在直线3x－y=0上，与x轴相切，且被直线x－y=0截得的弦长为2√7的圆的方程。

Answer 1

解：设圆为（x－a）^2+(y-b)^2=c^2
圆心在直线3x－y＝0上所以b＝3a
与x轴相切即与y＝0只有一个根联立
得(x-a)^2+(3a)^2-c^2=0
转化得x^2-2ax+(10a^2-c^2)=0
△＝4a^2-4(10a^2-c^2)=0
c^2=9a^2
圆方程（x-a）
^2+(y-3a)^2=9a^2
将上面的方程和直线y=x再次联立
化简可以得到2x^2-8ax+a^2=0
因为弦长等于2根号7
所以上面的方程一定有2个根设为x1
x2
可以得到（x1－x2）^2+(y1-y2)^2=(2根号7)^2
这里y1＝x1
y2＝x2
就不用解释了继续化简
（x1＋x2）^2-4x1x2=0
由韦达定理带入可以求出a^2=1所以a＝±1
所以圆的方程就是（x－1）^2+(y-3)^2=9
或者（x+1）^2+(y+3)^2=9

Answer 2

设圆心是(x0,3x0)
因为圆心到x轴距离是|3x0|
所以圆的半径是|3x0|
因为被直线X-Y=0截得的弦长为2根号7
所以圆心到直线距离是根号下(9x0^2-7)
所以|x0-3x0|/根号2=根号下(9x0^2-7)
4x0^2/2=9x0^2-7
14=14x0^2
x0=1或x0=-1
所以圆的方程是(x-1)^2+(y-3)^2=9
或(x+1)^2+(y+3)^2=9