Question

数学归纳法证明

Answer 1

1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明：
当n=1时，左式=1²=1
右式=1*(1+1)(2*1+1)/6=1*2*3/6=1
所以，当n=1时，等式成立。
假设当n=k时，等式也成立，那么：
1²+2²+……+k²=k(k+1)(2k+1)/6
则，当n=k+1时，左式
=1²+2²+……+k²+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²
=(k+1)*[(2k²+k)/6+(k+1)]
=(k+1)*(2k²+k+6k+6)/6
=[(k+1)/6]*(2k²+7k+6)
=[(k+1)/6]*(2k+3)(k+2)
=[(k+1)*(k+2)*(2k+3)]/6
={(k+1)*[(k+1)+1]*[2(k+1)+1]}/6
所以，当n=k+1时，等式也成立
综上：
1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6

1³+2³+3³+。。。+n³=(1/4)n²(n+1)²
证明：显然n=1时成立，
假设n=k时，等式成立：1³+2³+3³+。。。+k³=(1/4)k²(k+1)²
则n=k+1时，1³+2³+3³+。。。+k³+(k+1)³=(1/4)k²(k+1)²+(k+1)³=[(1/4)k²+k+1](k+1)²=[(1/4)(k+2)²](k+1)²=(1/4)(k+1)²(k+2)²
所以当n=k+1时也成立，
所以对一切n属于正整数，均有
1³+2³+3³+。。。+n³=(1/4)n²(n+1)²