Question

微分几何意义

Answer 1

Answer 2

1.
微分表达式与切线方程的联系。

2.
微分的几何意义。

3.
从无穷小量的角度理解微分。

4.
微分在近似计算中的应用举例。 在近似计算时,我们可以用“线性增量”dy来近似代替“非线性增量” Δy。

5.
一个考研题目。 下面我们来分析一道考查微分几何意义的考研题(2006年数一第7小题),虽说本题用函数的凹凸性来解决更方便,但只要知道“导函数在某区间上>0则函数单增”这一“高中知识”,就可完成本题的解答(且更能体现导数的意义),题目如下:

6.
分析函数的大致图像。 解答本题的关键在于确定f(x)的大致图像,我们按下述步骤来分析:

7.
题目的解答。
微分和导数，我在初学的时候感觉概念虽然不复杂，但是始终有点模糊，比如以下一些问题就觉得模棱两可：

对于导数的链式法则， \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} ，可以理解为 du 可以约去，所以两者相等。但假如有 F(x,y) ， \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y} ，通过消去我们是否可以推出 \frac{dy}{dx}=-\frac{dy}{dx} ？
\int _ a^ b \frac{dy}{dx}dx\implies \int _ a^ b dy\implies y\rvert _ a^ b ，这里好像实实在在的消去了 dx 。
d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv ，然后说 dudv 太小了，所以忽略，得到了微分的乘法法则， d(uv)=udv+vdu ，难道 udv 和 vdu 不小！！
我当时脑袋一片混乱，到底 dx 或者说 du 、 dv 是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的地方不可以？

其实导数和微分的定义在各个历史时期是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发展历史上去寻找答案。