Question

点P是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）左支上的点，右焦点为F（c，...

点P是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）左支上的点，右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到原点的距离为c8，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）A．（1，43]B．（1，8]C．（43，53）D．（2，3]

Answer 1

解：设双曲线的左焦点为F1，
因为点P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）左支上的一点，
其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，
且M到坐标原点的距离为
c
8
，
由三角形中位线定理可知：OM=
1
2
PF1，
PF1=PF-2a，PF≥a+c．
所以
1
4
c+2a≥a+c，即有c≤
4
3
a，即e=
c
a
≤
4
3
，
但e＞1，则1＜e≤
4
3
．
故选A．