Question

△abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知向量m=(c-a,sinb)

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量， m =(a，-c) ， n =(cosA，cosB) ， p =(a，b) ， q =(cos(B+C)，cosC) ， m • n = p • q ，a= 13 ，c=4 ． （1）求cosA的值； （2）求△ABC的面积S．

Answer 1

（1） m =(a，-c) ， n =(cosA，cosB) ， p =(a，b) ， q =(cos(B+C)，cosC) ， m • n = p • q ． ∴a•cosA-c•cosB=a•cos（B+C）+b•cosC，即 2a•cosA=c•cosB++b•cosC． 再由正弦定理可得 2sinAcosA=sinCcosB cosCsinB=sin（B+C）=sinA，由于sinA≠0，∴cosA= 1 2 ． （2）由（1）可得cosA= 1 2 ，A= π 3 ． △ABC中，由余弦定理可得 13=b 2 +16-8bcosA=b 2 +16-4b，解得 b=5或 b=-1 （舍去）． 故△ABC的面积S= 1 2 bc•sinA =5 3 ．