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∫e^X(1-e^X)/√(1+e^2X)dX
令e^x=t,则 x=lnt ,dx=(1/t)dt
原式=∫[t(1-t)/√(1+t²)]×(1/t)dt
=∫(1-t)/√(1+t²)dt
=∫1/√(1+t²)dt-∫t/√(1+t²)dt
(求∫1/√(1+t²)时)
令t=tanm,则m=arctant,√(1+t²)=1/cosm,dt=1/sec^2mdm
上式=∫cosm×1/sec^2mdm-1/2∫1/√(1+t²)d(1+t²)
=∫1/cosmdm-1/2∫1/√(1+t²)d(1+t²)
=㏑|secm+tanm|-1/2×2×(1+t²)^1/2
=㏑|secarctant+tanarctant|-√(1+e^2X)+C
=㏑|secarctane^X+e^X|-√(1+e^2X)+C
=㏑|e^X+√(1+e^2X)|-√(1+e^2X)+C
公式:∫1/√(1+t²)dt=㏑|t+√(1+t²)|+C
令e^x=t,则 x=lnt ,dx=(1/t)dt
原式=∫[t(1-t)/√(1+t²)]×(1/t)dt
=∫(1-t)/√(1+t²)dt
=∫1/√(1+t²)dt-∫t/√(1+t²)dt
(求∫1/√(1+t²)时)
令t=tanm,则m=arctant,√(1+t²)=1/cosm,dt=1/sec^2mdm
上式=∫cosm×1/sec^2mdm-1/2∫1/√(1+t²)d(1+t²)
=∫1/cosmdm-1/2∫1/√(1+t²)d(1+t²)
=㏑|secm+tanm|-1/2×2×(1+t²)^1/2
=㏑|secarctant+tanarctant|-√(1+e^2X)+C
=㏑|secarctane^X+e^X|-√(1+e^2X)+C
=㏑|e^X+√(1+e^2X)|-√(1+e^2X)+C
公式:∫1/√(1+t²)dt=㏑|t+√(1+t²)|+C
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分享解法如下。设e^x=tanθ。∴e^xdx=sec²θdθ。
原式=∫(1-tanθ)secθdθ=∫secθdθ-∫secθtanθdθ=ln丨secθ+tanθ丨-secθ+C。
∴原式=ln丨√[1+e^(2x)]+e^x丨-√[1+e^(2x)]+C。
原式=∫(1-tanθ)secθdθ=∫secθdθ-∫secθtanθdθ=ln丨secθ+tanθ丨-secθ+C。
∴原式=ln丨√[1+e^(2x)]+e^x丨-√[1+e^(2x)]+C。
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不定积分是一个函数集 (各函数只相差一个常数),它就是所积函数的原函数 (个数是无穷) 至于定积分 (它是一个数,常数),它可以通过不定积分来求得 (牛顿莱布尼茨公式)
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