Question

已知函数f(x)=2^x+1+2^-x+1。（1）判断f（x）的奇偶性，（2）求证f (x)在【0，+∞）上是增函数

Answer 1

f(x)=2^x+1+2^-x+1 =2^x+2*2^x *2^-2 +2^-x =(2^x+2^-x)^2

（1） f(-x)=(2^-x+2^-(-x))^2=f(x),所以为偶函数

（2） 【0，+∞）上是增函数

设在此区间有X1,X2,而且

0<x1<x2<R

f(x1)==(2^x1+2^-x1)^2

f(x2)==(2^x2+2^-x2)^2

f(x2)-f(x1)= (2^x2)^2+(2^-x2)^2+2 -[ (2^x1)^2+(2^-x1)^2+2 ]

=(2^x2)^2 - (2^x1)^2 +(2^-x2)^2 -(2^-x1)^2 +2-2

=(2^x2+2^x1)*(2^x2-2^x1) + (2^-x2+2^-x1)*(2^-x2 - 2^-x1)

因为x2>x1>0, 2^x2-2^x1 >0,

2^-x2 - 2^-x1=1/(2^x2) -1/(2^x1) = 2^x1-2^x2 / 2^x2 *2^x1 >0,

所以f(x2)-f(x1)>0,所以为增函数

Answer 2

f(-x)=2^（-x+1）+2^（x+1）=f(x)，所以f（x）是偶函数。
（2）求导。f（x）~=2^（x+1）ln2-2^(-x+1)ln2
=[2^（x+1）-2^(-x+1)]ln2
因为在【0，+∞）上2^（x+1）-2^(-x+1)>0所以即f（x）导数为正，所以是增函数。