不定积分化简?

t=√[(1+x)/x]-2t-2ln|(t-1)/(t+1)|+c=-2√[(1+x)/x]-2ln[√[(1+x)/x]+1]+ln|x|+cln是怎么化简出来这样的... t=√[(1+x)/x]
-2t-2ln|(t-1)/(t+1)|+c=-2√[(1+x)/x]-2ln[√[(1+x)/x]+1]+ln|x|+c
ln是怎么化简出来这样的/////
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长夜荧荧
2021-02-25 · TA获得超过1万个赞
知道大有可为答主
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学过微积分的人都知道,不定积分是整个微积分里面,技巧最丰富,也是最难得掌握的部分。它的基本方法只有两个,分部积分法与换元法(第一与第二换元法,原理是一样的),但是就这两个方法,所衍生出来的变化几乎可以说是无穷无尽的。每一个具体的不定积分都有它特定的技巧。现在我们先来看看,求不定积分的一般原则。后续的文章里,我会详细讲解,哪种被积函数采取哪种积分技巧。

原则一:尽量简化被积函数。利用代数变形或者三角函数恒等式将被积函数化简,从而将被积函数化成可以直接积分的形式。例如,

(
1

x
x
)
2
d
x
=

(
1
x
2

2
x
+
1
)
d
x
∫(1−xx)2dx=∫(1x2−2x+1)dx


(
sin
x
+
cos
x
)
2
d
x
=

(
sin
2
x
+
2
sin
x
cos
x
+
cos
2
x
)
d
x
=

(
1
+
sin
2
x
)
d
x
∫(sin⁡x+cos⁡x)2dx=∫(sin2⁡x+2sin⁡xcos⁡x+cos2⁡x)dx=∫(1+sin⁡2x)dx


cot
2
x
d
x
=

(
csc
2
x

1
)
d
x
∫cot2⁡xdx=∫(csc2⁡x−1)dx

可以看到,化简后,这几个积分就可以直接利用积分公式了。

原则二:先试试能不能凑微分;例如积分

x

1

x
2
d
x
∫x1−x2dx

虽然可以利用三角代换
x
=
sin
t
x=sin⁡t 来化简,但事实上,我们用凑微分
u
=
1

x
2
,
x
d
x
=

1
2
d
u
u=1−x2,xdx=−12du 来计算,显然快捷得多。

原则三:给被积函数分类,根据不同的类型选取不同的积分方法。如果化简不能直接给出积分,又不能凑微分,那么就应该寻求变量代换,或者使用用分部积分法。一般说来,有以下几种大的类型:

如果被积函数是幂函数与三角函数、指数函数的积,那么使用分部积分法,令幂函数为
u
u,其它函数为
v

v′
如果被积函数是幂函数与反三角函数、对数函数的积,使用分部积分法,令其它函数为
u
u , 幂函数为
v

v′;
如果被积函数是三角函数与指数函数的积,则使用回复积分法。就用多次使用分部积分,使被积函数回到原来被积函数的形式上去,从而可以利用代数方法求出积分;
如果被积函数是三角函数的复合函数,则利用三角函数的积分方法。例如三角函数恒等代换,回复积分,变量代换等等。这部分我们以后详细说明;
如果被积函数是有理分式,则先分解有理分式为简单分式之和,再对各分式求积分;
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本回答由乐享怡安化工提供
匿名用户
2021-02-19
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换元。这一步是把原来的元带回去。
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