不定积分化简?
t=√[(1+x)/x]-2t-2ln|(t-1)/(t+1)|+c=-2√[(1+x)/x]-2ln[√[(1+x)/x]+1]+ln|x|+cln是怎么化简出来这样的...
t=√[(1+x)/x]
-2t-2ln|(t-1)/(t+1)|+c=-2√[(1+x)/x]-2ln[√[(1+x)/x]+1]+ln|x|+c
ln是怎么化简出来这样的///// 展开
-2t-2ln|(t-1)/(t+1)|+c=-2√[(1+x)/x]-2ln[√[(1+x)/x]+1]+ln|x|+c
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2个回答
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学过微积分的人都知道,不定积分是整个微积分里面,技巧最丰富,也是最难得掌握的部分。它的基本方法只有两个,分部积分法与换元法(第一与第二换元法,原理是一样的),但是就这两个方法,所衍生出来的变化几乎可以说是无穷无尽的。每一个具体的不定积分都有它特定的技巧。现在我们先来看看,求不定积分的一般原则。后续的文章里,我会详细讲解,哪种被积函数采取哪种积分技巧。
原则一:尽量简化被积函数。利用代数变形或者三角函数恒等式将被积函数化简,从而将被积函数化成可以直接积分的形式。例如,
∫
(
1
−
x
x
)
2
d
x
=
∫
(
1
x
2
−
2
x
+
1
)
d
x
∫(1−xx)2dx=∫(1x2−2x+1)dx
∫
(
sin
x
+
cos
x
)
2
d
x
=
∫
(
sin
2
x
+
2
sin
x
cos
x
+
cos
2
x
)
d
x
=
∫
(
1
+
sin
2
x
)
d
x
∫(sinx+cosx)2dx=∫(sin2x+2sinxcosx+cos2x)dx=∫(1+sin2x)dx
∫
cot
2
x
d
x
=
∫
(
csc
2
x
−
1
)
d
x
∫cot2xdx=∫(csc2x−1)dx
可以看到,化简后,这几个积分就可以直接利用积分公式了。
原则二:先试试能不能凑微分;例如积分
∫
x
√
1
−
x
2
d
x
∫x1−x2dx
虽然可以利用三角代换
x
=
sin
t
x=sint 来化简,但事实上,我们用凑微分
u
=
1
−
x
2
,
x
d
x
=
−
1
2
d
u
u=1−x2,xdx=−12du 来计算,显然快捷得多。
原则三:给被积函数分类,根据不同的类型选取不同的积分方法。如果化简不能直接给出积分,又不能凑微分,那么就应该寻求变量代换,或者使用用分部积分法。一般说来,有以下几种大的类型:
如果被积函数是幂函数与三角函数、指数函数的积,那么使用分部积分法,令幂函数为
u
u,其它函数为
v
′
v′
如果被积函数是幂函数与反三角函数、对数函数的积,使用分部积分法,令其它函数为
u
u , 幂函数为
v
′
v′;
如果被积函数是三角函数与指数函数的积,则使用回复积分法。就用多次使用分部积分,使被积函数回到原来被积函数的形式上去,从而可以利用代数方法求出积分;
如果被积函数是三角函数的复合函数,则利用三角函数的积分方法。例如三角函数恒等代换,回复积分,变量代换等等。这部分我们以后详细说明;
如果被积函数是有理分式,则先分解有理分式为简单分式之和,再对各分式求积分;
原则一:尽量简化被积函数。利用代数变形或者三角函数恒等式将被积函数化简,从而将被积函数化成可以直接积分的形式。例如,
∫
(
1
−
x
x
)
2
d
x
=
∫
(
1
x
2
−
2
x
+
1
)
d
x
∫(1−xx)2dx=∫(1x2−2x+1)dx
∫
(
sin
x
+
cos
x
)
2
d
x
=
∫
(
sin
2
x
+
2
sin
x
cos
x
+
cos
2
x
)
d
x
=
∫
(
1
+
sin
2
x
)
d
x
∫(sinx+cosx)2dx=∫(sin2x+2sinxcosx+cos2x)dx=∫(1+sin2x)dx
∫
cot
2
x
d
x
=
∫
(
csc
2
x
−
1
)
d
x
∫cot2xdx=∫(csc2x−1)dx
可以看到,化简后,这几个积分就可以直接利用积分公式了。
原则二:先试试能不能凑微分;例如积分
∫
x
√
1
−
x
2
d
x
∫x1−x2dx
虽然可以利用三角代换
x
=
sin
t
x=sint 来化简,但事实上,我们用凑微分
u
=
1
−
x
2
,
x
d
x
=
−
1
2
d
u
u=1−x2,xdx=−12du 来计算,显然快捷得多。
原则三:给被积函数分类,根据不同的类型选取不同的积分方法。如果化简不能直接给出积分,又不能凑微分,那么就应该寻求变量代换,或者使用用分部积分法。一般说来,有以下几种大的类型:
如果被积函数是幂函数与三角函数、指数函数的积,那么使用分部积分法,令幂函数为
u
u,其它函数为
v
′
v′
如果被积函数是幂函数与反三角函数、对数函数的积,使用分部积分法,令其它函数为
u
u , 幂函数为
v
′
v′;
如果被积函数是三角函数与指数函数的积,则使用回复积分法。就用多次使用分部积分,使被积函数回到原来被积函数的形式上去,从而可以利用代数方法求出积分;
如果被积函数是三角函数的复合函数,则利用三角函数的积分方法。例如三角函数恒等代换,回复积分,变量代换等等。这部分我们以后详细说明;
如果被积函数是有理分式,则先分解有理分式为简单分式之和,再对各分式求积分;
2021-02-19
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换元。这一步是把原来的元带回去。
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