Question

F(X)对任意实数a、b∈R都有F(a+b)=F(a)+F(b)-1,且当X>0时,F(X)>1.

F（X）对任意实数a、b∈R都有F(a+b)=F(a)+F(b)-1,且当X＞0时，F（X）＞1.
1、求证F（X）为R上的增函数；2、若F（4）=5，不等式F（3m^2-m-2）＜3，m的解集

Answer 1

解：（1）令a=b=0,则F(0)=2F(0)-1即F(0)=1
令a=x,b=-x,则F(x-x)=F(x)+F(-x)-1=F(0),即-F(x)=F(-x)-2;
令 x1,x2∈R,x2>x1，x2-x1>0
F(x2)- F(x1)= F(x2)+ F(-x1)-2= F(x2-x1)-1;
因为当X＞0时，F（X）＞1；
x2-x1>0, F(x2-x1)>1
所以 F(x2)> F(x1)
故F（X）为R上的增函数；
(2)F（4）=5,即F(4)=F(2+2)=2F(2)-1=5
F(2)=3;
F（3m^2-m-2）＜3=F(2)
F（X）为R上的增函数
所以3m^2-m-2<2 ,解得 -1<m<4/3