Question

一道初三几何题目（急，拜托了，谢谢！）

在直角梯形abcd中,ad平行bc,角A=90度,AD=AB=1,BC=2,使E,F分别为AD,CD上的两个动点，且使角EBF=45度。BD与EF交于P
1。求证三角形BEF是等腰直角三角形
2。若AE=X，DP=Y，求函数解析式

Answer 1

(1)证明：
作DM⊥BC于点M，连接BD
可得DM=CM=1，∠ABD=∠ADB=∠CBD=45°
∴∠C=45°，∠BDC=90°
∴∠EDC=135°
∵∠EDF=45°
∴∠EDF+∠EBF=180°
∴BEDF四点共圆
∴∠BEF=∠BDC=90°
∵∠EBF=45°
∴△EBF是等腰直角三角形

(2)
∵∠ABD=∠CBD=45°
∴∠ABE=∠FBD
∵∠A=∠BDF=90°
∴△ABE∽△BDF
∴AB/BD=AE/DF=x/y
∵AB=1，BD=√2
∴y=√2x

Answer 2

(1)证明：
作DM⊥BC于点M，连接BD
可得DM=CM=1，∠ABD=∠ADB=∠CBD=45°
∴∠C=45°，∠BDC=90°
∴∠EDC=135°
又∵∠EDF=45°
∴∠EDF+∠EBF=180°
∴四边形BEDF中,∠BEF=∠BDC=90°
∵∠EBF=45°
∴△EBF是等腰直角三角形

(2)
∵∠ABD=∠CBD=45°
∴∠ABE=∠FBD
∴DP=DF
又∵∠A=∠BDF=90°
∴△ABE∽△BDF
∴AB/BD=AE/DF=x/y
又∵AB=1，BD=√2
∴y=√2x

Answer 3

1.)证明：
作DQ⊥BC,FS⊥BC 分别交BC于点Q,点S，
依题设,则可知: ADQB为正方形,
△DQC,△FSC,△BDC都是等腰直角三角形
∴∠EDF=135°
又∵∠EBF=45°
∴∠EDF+∠EBF=180°
∴E,D,F,B,四点共圆
∴∠BEF=∠FDB=90°
又∵∠EBF=45°
∴△EBF是等腰直角三角形

2.)∵∠DBF=45°-∠EBD, ∠EBA=45°-∠EBD
∴∠DBF=∠EBA
∴Rt△ABE∽Rt△DBF
∴DF/AE=BF/BE=√2 即 DF=X√2
∵∠DFE=∠EBD, 又∵∠SBF=45°-∠FBD, ∠EBD=45°-∠FBD
∴∠DFE=∠SBF 即∠DFP=∠SBF
∴Rt△DFP∽Rt△SBF
∴DP/FS=DF/BS 即 Y=DP=FS×DF/BS=FS×DF/(BC-SC)
又∵FS=SC=FC/√2=(√2-DF)/√2=1-X ∴BC-SC=2-1+X=1+X
∴Y=√2(1-X)X/(1+X)