Question

椭圆极坐标方程

Answer 1

极坐标方程：(一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上)r=a(1-e²)/(1-ecosθ)(e为椭圆的离心率=c/a)。

椭圆的方程

标准方程

1)焦点在X轴时，标准方程为：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)

2)焦点在Y轴时，标准方程为：y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)

极坐标方程

(一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上)

r=a(1-e²)/(1-ecosθ)(e为椭圆的离心率=c/a)

一般方程

Ax²+By²+Cx+Dy+E=0(A>0，B>0，且A≠B)。

参数方程

x=acosθ，y=bsinθ。

椭圆的极坐标方程推导

椭圆的常见问题以及解法

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。