Question

已知数列{an}满足a1=4/3,2-a(n+1)=12/an+6 则1/a1+2/a2+.1/an=?

Answer 1

首先，根据题意，得到递推式为：an+1 = 12/(2 - an) - 6，且a1 = 4/3。
要求1/a1 + 2/a2 + ... + 1/an，可以先将其表示为分数和的形式，即：
1/a1 + 2/a2 + ... + 1/an = (1 - 1/2) * (1/a1) + (1/2 - 1/3) * (1/a2) + ... + (1/(n-1) - 1/n) * (1/an) + 1/n * (1/an)
对于前面n-1项，可以使用递推式将每一项表示为an+1的形式，即：
(1 - 1/2) * (1/a1) + (1/2 - 1/3) * (1/a2) + ... + (1/(n-1) - 1/n) * (1/an)
= 1/a1 - 1/2a2 + 1/2a2 - 1/3a3 + ... + 1/(n-1)an - 1/nan
= 1/a1 - 1/nan
而最后一项可以直接化简为1/an+1，因此有：
1/a1 + 2/a2 + ... + 1/an = 1/a1 - 1/nan + 1/an+1
代入递推式得到：
an+1 = 12/(2 - an) - 6
1/an+1 = 1/2 - 1/12(2 - an) - 6an+1
将an+1代入化简得到：
1/an+1 = 1/2 - 1/(24 - 12/an) = (12 - an)/[2(12 - an)]
因此有：
1/a1 + 2/a2 + ... + 1/an = 1/a1 - 1/nan + (12 - an)/[2(12 - an)]
= 1/a1 + (12 - an)/[2(12 - an)] - 1/nan
最后将an+1代入上式，得到：
1/a1 + (12 - an)/[2(12 - an)] - 1/nan = 1/4 - 1/2n
因此，1/a1 + 2/a2 + ... + 1/an = 1/4 - 1/2n + (12 - an)/[2(12 - an)]。

Answer 2

2-a(n+1)=12/(an+6)a(n+1) = 2an/(an+6)1/a(n+1) = (an+6)/[2an]1/a(n+1) + 1/4 = 3(1/an + 1/4)[1/a(n+1) + 1/4] / (1/an + 1/4) = 3(1/an + 1/4)/ (1/a1+1/4) = 3^(n-1)(1/an + 1/4) = 3^(n-1)1/an = 3^(n-1) -1/4...