Question

f(x)=x+1/x 的单调区间怎么求？

这个我刚学，而且不会用导数法

Answer 1

解：函数的定义域为x≠0。
因为f(-x)=-x+1/-x=-(x+1/x)=-f(x)
所以函数为奇函数。
当x＞0时
设对任意的x1，x2，+∞＞x2＞x1＞0；
△x=x2-x1＞0
△y=f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-(x1+1/x1)
=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)+(x1-x2)/x1x2
=(x2-x1)(1-1/x1x2)==(x2-x1)[（x1x2-1）/x1x2]
因为x2>x1,x2-x1>0,
当 1>x>0时，x1x2<1，可知△y＜0，函数为单调减函数；
当 x≥1时,x1x2≥1，可知△y≥0，函数为单调增函数。
因为f（x）为奇函数，单调区间关于原点对称，
所以综上所述：（-∞，-1】为单调增区间
（-1， 0） 为单调减区间
（ 0, 1） 为单调减区间
【 1，+∞）为单调增区间

Answer 2

求导数：f'(x)=1-1/x^2
x∈(-∞,-1)时，f'＞0,单调增；
x∈(-1,1)，f'＜0,单调减；
x∈(1，+∞)，f'＞0,单调增。

【问题补充：这个我刚学，而且不会用导数法】

【备注：那么这个题是老师布置的？还是你自我学习？

如果是两个或几个增函数的叠加，那肯定是增函数；两个或两个以上的减函数叠加，那一定是减函数。

但是像这样f(x)=g(x)+h(x)的函数,其中g(x)=x在全区间单调增,h(x)=1/x在除了x=1那个点之外的区间都是单调减。增函数和减函数的叠加如果不用导数会很麻烦。

Answer 3

(参考)
利用函数的单调性来推导，其间还要用到a^2+b^2≥2ab.