Question

已知函数f（x）对任意非零实数x、y，总有f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立。求证y=f（x）为奇函数

RT
X、Y不能等于0啊

Answer 1

令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0

令y=-x
则x+y=0
f(0)=0=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)
定义域x≠0，关于原点对称
所以是奇函数

Answer 2

x=y=0,则f（0）=2f（0）
所以f(0)=0
因为f（x+y）=f（x）+f（y）
所以f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)
因为f(0)=0
所以f(x)=-f(-x)
即 f(x)为奇函数。

Answer 3

x=y=0 f(0)=0

y=-x f（0）=f（x）+f（-x）

f（x）+f（-x）=0

f（-x）=-f（x）

y=f（x）为奇函数

Answer 4

令，Z=X+Y,则F(Z)=F(Z-Y)+F(Z-X)=F(Z)+F(-Y)+F(Z)+F(-X)
=2F(Z)+F(-Y)+F(-X)
=2F(Z)+F(-Y-X)
=2F(Z)+F(-Z)
移向得F(-Z)=-F(Z),所以为奇函数

Answer 5

令X=y=0，f（0）=2f（0）则f（0）=0再令y=-X则f（0）=f（X）+f（-X）则f（-x）=-f（X）得证

Answer 6

x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.
当y=-x时，f(0)=f(x)+f(-x).所以有f(x)=-f(-x).
所以f(x)为奇函数。