Question

齐次微分方程详细资料大全

Answer 1

齐次微分方程（homogeneous differential equation）是指能化为可分离变数方程的一类微分方程，它的标准形式是 y'=f(y/x)，其中 f 是已知的连续方程。求解齐次微分方程的关键是作变换 u=y/x ，即 y=ux ，它可以把方程转换为关于 u 与 x 的可分离变数的方程，此时有 y'=u+xu'，代入原方程即可得可分离变数的方程 u+xu'=f(u) ,分离变数并积分即可得到结果，需要注意的是，最后应把 u=y/x 代入，并作必要的变形。

基本介绍

• 中文名 ：齐次微分方程
• 外文名 ：homogeneous differential equa-lion
• 标准形式 ：y'=f(y/x)
• 求解关键 ：作变换 u=y/x ，即 y=ux 
• 注意事项 ：最后应把u=y/x代入，并作变形
• 套用学科 ：高等数学

定义,方程特点,方程的解,求解步骤,注意事项,典例,例1,例2,

定义

形如 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称微分方程。

方程特点

齐次微分方程的特点是其右端项是以 为变元的连续函式。 例如， 是齐次微分方程，它可以转化为： ，即 。

方程的解

齐次微分方程通过变数代换，可化为可分离变数微分方程来求解。 令 或 ， 其中 是新的未知函式，对 两边求导，则有： ， 将其代入 ，得： ， 分离变数，得： 两边积分，得： ， 求出积分后，再将 回代，便得到方程 的通解。

求解步骤

（1）作变换 ，将齐次方程转化为分离变数的微分方程； （2）求解可分离变数的微分方程； （3）用 代替步骤（2）中所求通解中的 （即变数还原），就可以得到原方程的通解。

注意事项

如果有 ，使得 ，则显然 也是方程 的解，从而 也是方程 的解；如果 ，则方程 变成 ，这是一个可分离变数微分方程。

典例

例1

求解方程 。 解：令 ，则 ， ， 原方程变为： ，即 ； 分离变数可得： ， 左右两端同时积分可得： ， 将 代入，便可得到原方程的通解为： ，其中 C 为任意常数。

例2

求方程 的通解。 解：令 ，则 ， ， 原方程变为： ，即 ； 分离变数可得： ， 左右两端同时积分可得： ， 将 代入，便可得到原方程的通解为： ，其中 C 为任意常数。