Question

齐次一阶微分方程详细资料大全

Answer 1

形如y'=f(y/x)的一阶微分方程，称为齐次一阶微分方程。齐次微分方程是一个微分方程，如果它的一个解乘以任意常数后，仍是它的解，则称为齐次微分方程。对一阶线性微分方程来说，右端(即不含未知函式及其导数的项)不为零的方程y′+p(x)y= q(x)称为非齐次方程；与此对应的，右端q(x=0的方程y′+p(x)y=0，称为对应的齐次方程。此外，当微分方程的左端是以自变数，未知函式作为变元的齐次函式时，也称为齐次方程。

基本介绍

• 中文名 ：齐次一阶微分方程
• 外文名 ：homogeneous differential equation of first order
• 所属学科 ：数学
• 相关概念 ：齐次方程，微分方程等

基本介绍,一般解法,

基本介绍

如果对任何 都有 ，则称 是x和y的 齐次函式， 如果取 ，则 。这就是说齐次函式 可改写为 的形式。 一阶微分方程 (其中， 为齐次函式)就叫做 齐次(一阶微分)方程 。或者说，方程 是齐次方程。此外，如果在微分方程的每一项中，因子x和y的幂次的总和都是相等的，则该方程就是 齐次方程 。 例如 都是齐次方程。事实上，式(2)各项同除x，式(3)各项同除以 ，则式(2)和(3)可分别化为 或 和 或 另外，方程 也是齐次方程。事实上，方程(4)右端分子和分母同除以x，则得到齐次方程

一般解法

关于齐次方程 的一般解法如下： 令 所以 ，代入方程(1)，得 即有 方程(2)为可分离变数方程，于是 方程(3)两端积分，得 上述等式可改写为 把 代入式(4)，则得到方程(1)的隐式通解 例1 求方程 的通解。 解： 方程 ，令 ，所以 ，于是方程变为 ，即 ，所以 。积分得通解 ，即 。也可以把方程的隐式通解 改写为显式通解。事实上，因为 ，所以 。