Question

解析几何一题

如图

Answer 1

解：

根据题意，得

2a=2√6，即a=√6

将这个椭圆坐标化，设为

x²/6+y²/b²=1

可设直角三角形在圆上的两个点为

(acosα，bsinα)和(acosβ，bsinβ)

满足垂直条件：

a²cosαcosβ+b²sinαsinβ=0

或β=α+π/2

且长度满足:

(acosα-acosβ)²+(bsinα-bsinβ)²≥(2√2)²

(a²cos²α+a²cos²β-2a²cosαcosβ)+(b²sin²α+b²sin²β-2b²sinαsinβ)≥8

(a²cos²α+a²cos²β)+[(a²-c²)sin²α+(a²-c²)sin²β]-2[b²sinαsinβ+a²cosαcosβ]≥8

(a²cos²α+a²cos²β)+[(a²-c²)sin²α+(a²-c²)sin²β]≥8

a²-c²sin²α+a²-c²sin²β≥8

2a²-c²(sin²α+sin²β)≥8

∵β=α+π/2

∴sin²β=cos²α

∴sin²α+sin²β=1

∴2a²-c²≥8

∴c²≤2a²-8=12-8=4

∴c≤2

∴焦距，也就是2c，最大值是4

谢谢