Question

一道高数数列极限题

设a>0,x1=a^(1/2),x2=(a+a^(1/2))^(1/2),……,x(n+1)=(a+xn)^(1/2)(n=1,2,……）,求极限xn（n趋于无穷）
你必须先证明此数列有极限，即证明此数列是单调有界数列，我证不来

Answer 1

【注：设a＞0,则3a+1-√(1+4a)=[(3a+1)-√(4a+1)][(3a+1)+√(4a+1)]/[(3a+1)+√(4a+1)]=(9a²+2a)/[(3a+1)+√(4a+1)]＞0.∴3a+1＞√(4a+1).===>4a+1＞a+√(4a+1).===>√(4a+1)＞√[a+√(4a+1)].】证明：(一）∵a＞0,∴x1=√a＞0.===>a+x1＞a.===>√(a+x1)＞√a.即0＜x1＜x2.===>0＜a＜a+x1＜a+x2.===>0＜√a＜√(a+x1)＜√(a+x2).即0＜x1＜x2＜x3.假设0＜x(n-1)＜xn.===>a＜a+x(n-1)＜a+xn.===>√[a+x(n-1)]＜√(a+xn).即xn＜x(n+1).∴数列{xn}是正项递增数列。（二）∵a＞0.∴0＜a＜1+4a.∴√a＜√(1+4a).即x1=√a＜√(1+4a).又3a-(√a)+1=3[(√a)-(1/6)]²+(11/12)＞0.∴3a+1＞√a.===>a+√a＜1+4a.===>√(a+√a)＜√(1+4a).即x2＜√(1+4a).假设xn＜√(1+4a).===>a+xn＜a+√(1+4a).===>√(a+xn)＜√[a+√(1+4a)].===>x(n+1)＜√[a+√(1+4a)]＜√（4a+1).∴x(n+1)＜√(4a+1).即√(4a+1)是数列{xn}的一个上界，综上可知，数列{xn}是一个单调递增且有上界的数列。∴lim(xn)(n-->∞)存在,设极限为y,对递推式两边取极限得y²=a+y.解得y=[1+√(1+4a)]/2.【∵{xn}是正项递增数列，故其极限为正，另一根舍去。】

Answer 2

证明：存在极限
首先，能寻找一个xi，使得xi大于1，否则数列小于1
又显然xi大于a，（否则数列递减，存在极限）
于是xi+a小于2xi
所以x（i+1)小于根号下2xi，即2^(1/2)乘以xi^(1/2)
所以x（i+2）小于根号下2x（i+1），即2^（1/2+1/4）乘以xi^(1/4)
……
所以x（i+n）小于根号下2^（1/2+1/4+1/8+……1/2^n）乘以xi^(1/2^n),取极限，小于2乘以xi
所以有界，又x2显然大于x1
数学归纳法：设x（i+1）〉xi，所以a+x（i+1）大于a+xi，所以，根号下a+x（i+1）大于根号下a+xi，即x（i+2）〉x（i+1)
综上，单调有界
利用n趋近无穷大时 x(n)=x(n+1)
解得极限为[1+根号下（1+4a）]/2
解毕

Answer 3

利用n趋近无穷大时 x(n)=x(n+1)
然后解方程