Question

一道高数数列极限证明题

证明如下命题:lim┬(n→∞)x_n=a的充要条件为对任一 ε>0,区间(a-ε,a+ε)外最多只有有限多项Xn。
跪求大神指导。不胜感激。

Answer 1

lim(n→∞)x(n) = a
<==> 对任一 ε>0，存在 N∈Z+，当n>N时，有 |x(n)-a| <ε
<==> 对任一 ε>0，存在 N∈Z+，当n>N时，有 x(n) ∈ (a-ε, a+ε)
<==> 对任一 ε>0，存在 N∈Z+，至多只有 n = 1, 2, …, N 不满足 x(n) ∈ (a-ε, a+ε)
<==> 对任一 ε>0，区间 (a-ε, a+ε) 外最多只有有限多项 x(n)。

Answer 2

根据极限定义，对于任意给定的e，存在N(e)使得
a-e < x_n <a+e
所以，在这个区间之外的x_n不会超过N(e)项得证