Question

可对角化的矩阵秩一定为1吗？

Answer 1

因为A可对角化，所以(E-A)x=0就有两个线性无关解，即E-A的秩是1。

详解：

λE-A的零度就是λ的几何重数，如果A可对角化则几何重数等于代数重数。

问题里"λE-A的秩等于1"中的“1”是二重特征值。又因可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

推导过程：

A可对角化时, 存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(a1,..,an)

则 R(A) = R(P^-1AP) = Rdiag(a1,...,an) = a1,...,an中非零元素的个数

而A的特征值即 a1,...,an

所以 R(A) 等于A的非零特征值的个数。

综上所述：(E-A)x=0就有两个线性无关解，即E-A的秩是1。

扩展资料：

一、可对角化的概念

1、定义1：

设σ是几维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使σ在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换σ可对角化。

2、定义2：

矩阵A是数域P上的一个n级方阵.如果存在一个P上的n级可逆矩阵X，X^-1AX为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。

二、可对角化的条件

1、（定理7）设σ为n维线性空间V的一个线性变换，则σ可对角化=σ有n个线性无关的特征向量。

2、（定理8）设σ为雌线性空间V的一个线性变换，如果ε1，ε2，…εk分别是σ的属于互不相同的特征值λ1,λ2…λk的特征向量，则ε1，ε2，…εk线性无关。

3、（推论1）设σ为n维线性空间V的一个线性变换，如果σ的特征多项式在数域P中有n个不同特征值，则口可对角化。特别地，（推论2）在复数域C上的线性空间中，如果线性变换σ的特征多项式没有重根，则σ可对角化。

4、（定理9）设σ为线性空间V的一个线性变换，λ1,λ2…λk是σ的不同特征值，而εi1，εi2，…εir1是属于特征值λi的线性无关的特征向量，i=1，2,...,k，则向量ε11，ε12，…εk1,...,εkrk线性无关。

参考资料来源：百度百科-对角化

Answer 2

不一定。
矩阵对角化后有多少行（列）的元素不全为零，则矩阵的秩是多少
矩阵的秩指的是行向量（或列向量）的极大线性无关组的向量数量