Question

已知定义域为R的函数f（x）=b−2x2x−a是奇函数．？

Answer 1

解题思路：（1）由奇函数性质得：f（0）=0，f（-1）=-f（1），可求出a，b值，根据单调性的定义即可作出判断；
（2）由函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，变为具体不等式恒成立，从而可转化为函数最值问题解决．
（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，b=1．
又f（-1）=-f（1），得a=-1．
经检验a=-1，b=1符合题意．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
1−2x1
2x1+1-
1−2x2
2x2+1=
2(2x2−2x1)
(2x1+1)(2x2+1)．
∵x1＜x2，∴2x2−2x1＞0，又（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）为R上的减函数．
（2）因为不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，
所以f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
因为f（x）为奇函数，所以f（t2-2t）＜f（k-2t2），
又f（x）为减函数，所以t2-2t＞k-2t2，即k＜3t2-2t恒成立，
而3t2-2t=3(t−
1
3)2-[1/3]≥-[1/3]，
所以k＜-[1/3]．
,7,已知定义域为R的函数f（x）= b− 2 x 2 x −a 是奇函数．
（1）求a，b的值，并判断f（x）的单调性；
（2）若对于任意t∈R，不等式f（t 2-2t）+f（2t 2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．