Question

为什么说线性空间中的可逆矩阵P是一个过渡矩阵

Answer 1

1. 假设有2组基分别为A,B。由基A到基B可以表示为B=AP，过渡矩阵P=A^-1B。

2. 过渡矩阵是基与基之间的一个可逆线性变换，在一个空间V下可能存在不同的基。

3. 它表示的是基与基之间的关系。

4. 若X是在A基下的坐标，而Y是在B基下的坐标，则X,Y满足X=PY;

5. 过渡矩阵为可逆矩阵。证明如下：

   证：过渡矩阵是线性空间一个基到另一个基的转换矩阵，即有(a1,...,an) = (b1,...,bn)P

   因为 b1,...,bn 线性无关,

   所以 r(P) = r(a1,...,an) = n 【满秩即可逆】

   故 P 是可逆矩阵.