Question

求教一道数学题

有16名学生参加一次数学竞赛，考题全是选择题，每题有4个选项，结果任何两名学生的答案至多有一道题相同，问最多有多少道题？

请写明详细步骤，谢谢~！
答案被采纳追加20积分

Answer 1

16个人回答同一道选择题，且每题有四个选项，
根据抽屉原理，每个人的答案至少和其他三个人的相同。
任选一个人来分析，可得以下推理过程：
①
当他回答第 1 题时，必然和 3 个人（第一组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3×1 = 4 人；
②
当他回答第 2 题时，必然要和第一组共 3 个人的答案都不相同，
（因为要满足任何两名学生的答案至多有一道题相同）
而且必然和另外 3 个人（第二组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3×2 = 7 人；
③
同理可得：
当他回答第 N 题时，必然要和前 (N-1) 组共 3(N-1) 个人的答案都不相同，
而且必然和另外三个人（第 N 组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3N 人；
④
综上所述，当这次竞赛有 N 道选择题时，
N 必须满足不等式： 1+3N ≤ 16 ， 解得： N ≤ 5 ；
即：这次竞赛最多有 5 道选择题。

希望对你有帮助 ↖(^ω^)↗

Answer 2

最多可以有60道或者61道题。如果答案正确就说说解题方法。

Answer 3

4道

Answer 4

1、
此题本身没有逻辑漏洞。
“有两名得到满分”的假设不满足题意，
由此得到的结论不能作为判断“原题有逻辑漏洞”的依据。

2、
如果考试只有一道题，
只是满足“任何两名学生的答案至多有一道题相同”的条件，
但并不满足“最多”这个条件，
所以，1道题不是所需要的答案。

3、
16个人回答同一道选择题，且每题有四个选项，
根据抽屉原理，每个人的答案至少和其他三个人的相同。
任选一个人来分析，可得以下推理过程：
①
当他回答第 1 题时，必然和 3 个人（第一组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3×1 = 4 人；
②
当他回答第 2 题时，必然要和第一组共 3 个人的答案都不相同，
（因为要满足任何两名学生的答案至多有一道题相同）
而且必然和另外 3 个人（第二组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3×2 = 7 人；
③
同理可得：
当他回答第 N 题时，必然要和前 (N-1) 组共 3(N-1) 个人的答案都不相同，
而且必然和另外三个人（第 N 组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3N 人；
④
综上所述，当这次竞赛有 N 道选择题时，
N 必须满足不等式： 1+3N ≤ 16 ， 解得： N ≤ 5 ；
即：这次竞赛最多有 5 道选择题。