Question

数形结合思想 [例谈巧用数形结合思想分析说理题]

Answer 1

　　华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种重要的数学思想方法，在初中数学几何的学习中占有非常重要的地位。苏科版教材七年级下册的学习开始接触有关平行和全等的说理，如果教师从刚开始的说理教学就有意识地运用最近发展区理论，引导学生运用数形结合思想帮助其分析题目是大有益处的。
　　说理题一般都配有图形，如果学生只看用文字或是符号语言表述的已知条件会觉得很抽象，不利于分析题目；只看图形，又会得不到有用的结论甚至是得到错误的结论，因为图形只是起到示意的作用，图形上一般只有字母或是直角标记等简单的符号，但是图形中又往往存在一些隐含的关系，如“对顶角相等”等。所以如果教会学生将符号语言和图形语言结合在一起考虑，即运用数形结合思想；并根据最近发展区理论回忆目前为止自己已经学过的结论，将那些结论的条件和题目中已知条件或是隐含条件巧妙地结合在一起使用，会大大帮助学生学会分析题目，学生会有很多收获。数形结合思想能帮助学生将数与形建立一一对应关系，学生如果在解题时养成随手把抽象的已知条件（即题中的符号语言、数量关系）在相对应的图形上标示出来的习惯，就可以帮助学生找到解题的入手点并一步步分析题目，从而达到帮助其学会分析题目、优化解题途径的目的，也将大大有助于学生数学思维能力的培养。
　　如何帮助学生学会根据最近发展区理论、巧用数形结合思想对一个说理题进行分析呢？根据几年的教学经验，笔者在教学中归纳为以下四个步骤：首先，仔细读题，将题目中的已知条件尽量在图上用不同的符号标出来，将符号语言转化为图形语言。其次，回忆目前为止自己已经学过的相关结论，并将结论的条件和题目中的已知条件结合在一起思考由这些条件可以得到的结论。再次，从题目的问题入手，寻找能够得到问题中结论的最佳方法。最后，在图形中寻找隐含条件，并将隐含条件与已知条件相结合思考，看看是否能够得到一些其他的结论，将图形语言再转化为符号语言，以便书写说理过程。目前的学习中，常见的隐含条件主要有以下几种类型：①公共角、对顶角相等；②公共边相等；③直角都相等；④邻补角互补。
　　下面本人将结合题目说说如何用数形结合思想分析说理题。
　　例1：如图1，AB∥DE，∠A=∠D。
　　AC与DF平行吗？请说明理由。
　　分析：根据题目中的已知条件“AB∥DE”，观察图形可知AB和DE被直线AC和BC所截，回忆已经学习过的平行线的性质可知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
　　根据已知条件“∠A=∠D”，观察图形可知：∠A的两条边分别为AB和AC，结合已知条件“AB∥DE”，可以判断AB和DE被AC所截：既可以截到同位角∠EGC，又可以截到内错角∠AGD，所以与∠A相等的角就是∠AGD和∠EGC，即∠A=∠AGD=∠EGC，等量代换就可以得到∠D=∠AGD=∠EGC，∠D与∠AGD是AC与DF被DE所截的内错角，∠D与∠EGC是AC与DF被DE所截的同位角，随便用哪一个结论都可以得到AC与DF平行。
　　例2：如图2，已知BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE。试说明：AC=DE。
　　分析：首先将已知条件中的三个条件在图中标示出来。问题中要说明AC与DE相等，观察图形可知AC与DE分别位于△ABC和△DBE中，如果能够说明这两个三角形全等，再根据“全等三角形的对应边相等”就可以得到它们俩相等。已知条件中的BA与BC、BD与BE分别是这两个三角形的边，这两个三角形中以点B为顶点的角分别为∠ABC和∠EBD，而已知条件中给出了∠ABD=∠CBE。这时就需要去仔细观察图形寻找隐含条件了，通过观察图形可以发现∠ABC和∠EBD之间有一个公共角∠CBD，公共角∠CBD就是一个隐含条件，由图可知∠ABD+∠CBD=∠ABC，∠CBE+∠CBD=∠EBD。这样就得到了两个三角形全等的三个条件，两个三角形全等就可以得到AC=DE。
　　解说理题是学生学习的一个重难点，但并不意味着学生不能学会。老师在平时的教学中要有意识地运用学生最近发展区的相关理论不断教给学生分析题目的方法：即运用数形结合思想，充分利用题目已知条件和图形中存在的隐含条件，引导学生回忆并思考已经学习过的定理、结论的条件与这些已知条件和隐含条件的相同之处，从而得到正确有用的结论。在长期的引导和训练下，可使学生较好地掌握说理的方法，同时还有利于学生形成系统的几何知识体系。
　　（作者单位：江苏省常州市新闸中学）