Question

自然数和质数为什么一样多

Answer 1

质数和自然数都是可数的，因此他们是一样多的，或者说他们的基数都是阿列夫零。

自然数是无穷多的，而质数也是无穷多的（其它答案有这个的证明，不再重复）。

对于有限集合，比较大小时，可以直接数出两者的个数，然后判断大小。

一个最简单的想法是，定义所有无限集都一样大，不进行区分。

这么定义并不会影响大多数数学。

但是数学家们认为这样太无趣了，所以不采用。

另一个合理的想法是，两个有包含关系的不同集合，被包含的应该更小。

直接定义不包含就相等显然不对，很容易找到四个无限集 ABCD，AB 分别包含于 CD，AD BC 分别无交，那么就 A<C=B<D=A，不符合直觉。

如果此时你想根据“有理数全部加上 \sqrt2 得到的集合被无理数集包含”来说明无理数比有理数多，问题是，你怎么确定有理数和有理数全部加上 \sqrt2 是一样多的？直观上这样没有问题，但是其实到目前为止，还没有两个不同的无限集大小相同的定义。

用更标准的说法就是，两个存在双射，或者说可以一一对应，的集合被认为有相同的大小。