Question

关于函数的单调性的题目。。。。

1.f(x)=√(1-3ax) / (a-1)（a≠1）【分子在根号里分母没在哈.....
①f（x）的单调性
②若f（x）在(0,1]上为减函数，求a的范围
2.求y=x/(x^2+1)的单调性

Answer 1

1、设g(x)=(1-3ax),p(x)=√g(x),且m>n
又∵1-3ax≥0,-->ax≤1/3
当a<0,定义域[1/3a,+∞);当a>0,定义域(-∞,1/3a]

∵g(m)-g(n)=(1-3am)-(1-3an)=-3am+3an=3a(n-m)
∴有 结论①
当a<0时,g(x)是增函数(x≥1/3a)；
当a>0,a≠1时,g(x)是减函数(x≤1/3a)；
当a=0时，f(x)=-1

p(m)-p(n)=√g(m) - √g(n)
当g(x)是增函数时，p(x)是增函数;
当g(x)是减函数时，p(x)是减函数;
即 p(x)与g(x)的单调性一致。

∵f(m)-f(n)=[p(m)-p(n)]/(a-1) 又∵p(x)与g(x)的单调性一致
∴
当a>1,g(x)是增函数时，f(x)是增函数;
当a<1,g(x)是增函数时，f(x)是减函数;
当a>1,g(x)是减函数时，f(x)是减函数;
当a<1,g(x)是减函数时，f(x)是增函数;
再综合“结论①:a<0 g(x)是增函数；a>0 g(x)是减函数”，
有:
③当a>1时,f(x)是减函数,定义域(-∞,1/3a];
④当0<a<1时，f(x)是增函数,定义域(-∞,1/3a];
⑤当a=0时，f(x)=-1,定义域(-∞,+∞);
⑥当a<0时, f(x)是增函数,定义域[1/3a,+∞)；

②若f（x）在(0,1]上为减函数,则只有③符合要求，
1/3a≤1 且 a>1
1/3≤a<1

2、y=x/(x^2+1)=1/(x+1/x)
设f(x)=x+1/x,m>n
f(m)-f(n)=(m-n)+(1/m-1/n)=(m-n)-(m-n)/mn=(m-n)(1-1/mn)
(m-n)>0,而
当x∈(-1,0)时，1/mn>1, f(x)是减函数;
当x∈(0,1)时，1/mn>1, f(x)是减函数;
当x∈(-∞,1]时，0<1/mn<1, f(x)是增函数;
当x∈[1,+∞)时，0<1/mn<1, f(x)是增函数;
∴(以下的证明相信你会做-->分母越大，分数越小)
当x∈(-∞,1]时，y=1/f(x)是减函数;
当x∈(-1,1]时，y=1/f(x)是增函数;
当x∈[1,+∞)时，y=1/f(x)是减函数

Answer 2

①(-3a)/(2*√(1-3ax)；
若a<0； 定义域为(1/3a，无穷)；f（x)在定义域上，单调递增；
若a>0（a≠1）；定义域为(无穷，1/3a)；f（x)在定义域上，单调递减；
②显然，a>0；(0,1]在定义域内；故1<1/3a；a<1/3；
故，0<a<1/3；

2、
对f（x）求导，=(1-x)(1+x)/(1+x*x)^2；考虑分子；
(1-x)(1+x)在
x<=-1，g(x)<=0
-1<x<=1， g(x)>=0
x>-1， g(x)<=0
故； x<=-1， f（x）单调递减
-1<x<=1， f（x）单调递增
x>1， f（x）单调递减