Question

若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x满足f(x+1)=f(x-1),当x属于[0,1)时,f(x)

1, 求f(x)在[-1,1]上的解析式
2, 解关于x的不等式f(x)>0
问题后面还有：f(x)=2x-1 麻烦写完整些，谢谢

Answer 1

你的的题目少了一个条件，x属于[0,1)时,f(x)等于什么没有。所以不好做。
从这个式子f(x+1)=f(x-1),可以推得这个是周期2的函数。
设x属于(-1,0]，则-x属于[0,1),利用偶函数的性质得f(x)=f（-x）=（用-x代入你题目中的那个解析式就可以了。）
我估计你那个[0,1)这个区间也有问题的。应该是[0,1]。因为没有解析式，接下去没法解了。但是你按照以上思路解出解析式以后，很容易求解不等式了。不要忘记这是一个周期函数。

Answer 2

解：1）f（x+1）=f（x-1）
令x-1=t有：f（t+2）=f（t）∴f（x）是周期为2的函数；

已知条件：x∈[0,1)时，f（x）=2x-1，是错误的。
应该是：x∈[0,1]时，f（x）=2x-1，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1；
-x∈[0,1]
∴f（-x）=2（-x）-1=-2x-1
又因为f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）
∴-1≤x≤0时，f（x）=-2x-1
所以函数f（x）在[-1,1]的解析式为：
f（x）=-2x-1，x∈[-1,0]
f（x）=2x-1， x∈[0,1]
2, f(x)＞0
当x∈[-1,0]时，f（x）＞0即-2x-1＞0，解：x＜-1/2
∴此时-1≤x＜-1/2；
当x∈[0,1]时，f（x）＞0即：2x-1＞0，解：x＞1/2
∴此时1/2＜x≤1；
又f（x）是周期为2的函数；
∴当-1+2n≤x＜-1/2 +2n 或 1/2 +2n＜x≤1 +2n， n∈Z时；
f（x）＞0；
∴解集为：[-1+2n，-1/2 +2n)∪（1/2 +2n, 1+2n],n∈Z。