Question

u^v==1^∞==e^lim(u-1)v过程

Answer 1

根据指数函数的性质和极限的定义，我们有：
u^v = (e^(ln(u)))^v = e^(v*ln(u))
当u-1趋近于0且v趋近于无穷大时，我们可以利用极限的定义，进一步推导：
lim(u-1)v = lim[(e^(ln(u)-1))]v = lim[e^((ln(u)-1)v)]
= e^(lim[(ln(u)-1)v])
由于v趋近于无穷大，我们可以令v=1/t，其中t趋近于0。那么上式可以改写为：
e^(lim[(ln(u)-1)v]) = e^(lim[(ln(u)-1)*(1/t)]) = e^(lim[(ln(u)-1)/t])
根据极限的定义，这可以表示为：
e^lim(u-1)v = e^lim[(ln(u)-1)/t] = e^lim[(ln(u)-1)'*t]
其中“(ln(u)-1)'”表示自变量为t时的倒数。
当t趋近于0时，(ln(u)-1)'可以表示为(ln(u))' = 1/u。因此，上述表达式可以进一步简化为：
e^lim(u-1)v = e^lim[1/u*t]
当t趋近于0时，1/u*t可以表示为1*t=1。因此，
e^lim(u-1)v = e^lim[1] = e
所以，根据上述推导过程，得出结论：u^v等于e。