Question

在等差数列{An}中。若a1=25且s9=s17。数列前几项和最大?

Answer 1

S9=S17
Sn=na1+[n(n-1)/2]d
9*25+36d=17*25+17*8*d
225+36d=425+136d
100d=-200
d=-2
an=a1+(n-1)d=25-2(n-1)=27-2n (n属于N*)
Sn=n(a1+an)/2=n(25+27-2n)/2=[52n-2n^2]/2=26n-n^2
=-(n-13)^2+169
所以，当n=13时，Sn取最大值为169。

或者:

等差数列的Sn是关于n的二次函数 即抛物线 且无常数项
因S9=S17 所以抛物线关于x=(17+9)/2=13对称
故前13项之和最大
设Sn=a*n^2+b*n
因S1=a1=25所以a+b=25
又前13项和最大 即正好是顶点 故13=-b/2a 即b=-26a
代入得-25a=25 所以a=-1 b=26
S13=-13^2+13*26=169

Answer 2

Sn=nA1+n*(n-1)*d/2

S9=9*25+9*8*d/2
S17=17*25+17*16*d/2

0=8*25+8*d*(17-9/2)

25+d(25/2)=0

d=-2

An=A1+(n-1)*d=25+(n-1)*(-2)=27-2n

An>=0
27-2n>=0
n<=13

n=13时，各项均为正值，数列和最大