Question

设向量组α1，α2，…αs的秩为r，且其中每个向量都可经α1，α2，…αr线性表出，证明α1，α2，…αr为

设向量组α1，α2，…αs的秩为r，且其中每个向量都可经α1，α2，…αr线性表出，证明α1，α2，…αr为α1，α2，…αs的一个极大线性无关组

Answer 1

提示一下吧，要证明是极大无关组，只要能证明α1，α2，…αr线性无关，或者说它的秩为r
这其实很简单
因为向量组α1，α2，…αs的秩为r，且其中每个向量都可经α1，α2，…αr线性表出
则r=r(α1，α2，…αs)<=r(α1，α2，…αr)<=r
所以r(α1，α2，…αr)=r，从而是线性无关的，所以α1，α2，…αr为α1，α2，…αs的一个极大线性无关组

Answer 2

α1，α2，…αs的秩为r
then

αr+1= (β1,r+1)α1 + (β2,r+1))α2 + ...
+ ... +(βr,r+1)αr
αr+2= (β1,r+2)α1 + (β2,r+2))α2 + ...
+ ... +(βr,r+2)αr
.
.
αs= (β1,s)α1 + (β2,s))α2 + ...
+ ... +(βr,s)αr

where r≤s ∈ Z+
(βi,j) is constant,
i=1,2,...,r
j= r+1,r+2,...,s

any linear combination of
αr+1，αr+2，…αs can be in terms of
α1，α2，…αr

ie
γ1αr+1 + γ2αr+2 + ... +γs-rαs
=β1α1+β2α2+...+βrαr

=> any linear combination of
α1，αr2，…αs can be in terms of
α1，α2，…αr

ie α1，α2，…αr为α1，α2，…αs的一个极大线性无关组