Question

定义在R上的函数F（X），对任意函数x，y属于R都有f（x+y）=f（x）+f（y)+1成立 （1）F（x）=f（x）+1，求

定义在R上的函数F（X），对任意函数x，y属于R都有f（x+y）=f（x）+f（y)+1成立
（1）F（x）=f（x）+1，求证：F（x）为奇函数
（2）若f（1）=1，且函数f（x）在R上增函数，解不等式f（3x+2）大于f（2x+3）+4

Answer 1

（1） 令x=y=0
f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)+1,所以 f(0)=-1
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以f(-x)+f(x)=-2
F(-x)=f(-x)+1=-2-f(x)+1= -1 - f(x) = -F(x)
所以F(x)是奇函数

（2）f（1）=1，则f（2）=f(1)+f(1)+1=3,
f（3x+2）> f（2x+3）+4
所以 f（3x+2）> f（2x+3）+ f（2）+1 =f(2x+3+2)=f(2x+5)
因为是增函数 ，所以 3x+2>2x+5
解得 x>3

Answer 2

（1） 令x=y=0
f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)+1,所以 f(0)=-1
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以f(-x)+f(x)=-2
F(-x)=f(-x)+1=-2-f(x)+1= -1 - f(x) = -F(x)
所以F(x)是奇函数