Question

证明函数f(x)=1/xsin1/x在区间(0,1]内无界,但当x趋近于0+0时此函数不是无穷大量.

Answer 1

解法如下：

取数列xn满足1/xn=2nπ+ π/2，当n-->∞ x—>0，当y=2nπ+π/2 -->无穷大 ，所以无界。

去数列yn满足1/yn=2nπ x-->，当y=0，所以y是震荡的，不是无穷大量。

数列的函数理解：

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

Answer 2

1）证明无界。令Xn=2/（4n+1）π，则f（Xn）=（4n+1）π/2*sin（4n+1）π/2=(4n+1)π/2
当Xn趋于0时，f趋于无穷大，故无界。可以用定义严密的证明
2）再令Xn=1/2nπ，则f（Xn）=2nπ*sin2nπ=0
根据1），可知当x趋于0正时，f是一个震荡的函数，故不是无穷大量