Question

已知二次函数f(x)=a x平方+(2a-1)+1在区间(负二分之三,2)上的最大值为3,求a的值

已知二次函数f(x)=a x平方+(2a-1)+1在区间(负二分之三,2)上的最大值为3,求a的值.

Answer 1

已知二次函数f(x)=a x平方+(2a-1)+1在区间(负二分之三,2)上的最大值为3,求a的值
解析：∵函数f(x)=a x^2+(2a-1)x+1,在区间(-3/2,2)上的最大值为3
f(x)=a(x^2+(2a-1)/ax+1/a)= a([x+(2a-1)/(2a)] ^2+1-(2a-1)^2/(4a)
f(-3/2)=9a/4-3(2a-1)/2+1=(10-3a)/4 , f(2)=4a+4a-2+1=8a-1
当a>0时，函数f(x)为开口向上的抛物线
当-(2a-1)/(2a)=(2-3/2)/2=1/4==>a=2/5时，函数最大值f(3/2)=f(2)=11/2≠3
当-(2a-1)/(2a)<1/4==>a>2/5时，函数最大值f(2)=8a-1=3==>a=1/2
当-(2a-1)/(2a)>1/4==>a<2/5时，函数最大值f(-3/2)=(10-3a)/4=3==>a=-2/3,与a>0矛盾

当a<0时，函数f(x)为开口向下的抛物线
当-(2a-1)/(2a)<=-3/2==>a<=-1时，函数最大值f(-3/2)=(10-3a)/4=3==>a=-2/3
当-3/2<-(2a-1)/(2a)<0==>-1<a<0时，函数最大值1-(2a-1)^2/(4a)=3==>a=-1/2
0<-3/2<-(2a-1)/(2a)<2==>a>1/6，与a<0矛盾
当-(2a-1)/(2a)>=2==>0<a<=1/6，与a<0矛盾
综上：二次函数f(x)=a x平方+(2a-1)+1在区间(-3/2,2)上的最大值为3，a的值为-2/3或-1/2或1/2

Answer 2

题目（2a-1）后是否少x,【4a-(2a-1)平方】/4a=3,得a=-1/8.
若（2a-1）后没有x，此题无解

Answer 3

a=(1/2,正无穷)