Question

一道数学题,帮帮忙

已知f(x)=(10^x-10^(-x))/(10^x+10^(-x))
(1)证明f(x)是定义域内的增函数
(2)求f(x)的值域

Answer 1

f(x)上下乘10^x
f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1)=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
因为10^2x>0,所以分母不为0
所以定义域是R
令a>b
则f(a)-f(b)=1-2/(10^2a+1)-1+2/(10^2b+1)
=2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)
分母显然大于0
(10^2a+1)-(10^2b+1)=10^2a-10^2b
a>b,2a>2b
所以10^2a-10^2b>0
所以2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)>0
即a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)是定义域内的增函数

y/1=(10^x+10^-x)/(10^x-10^-x)
和分比公式,有:(y+1)/y-1)=10^(2x)>0
(y+1)(y-1)>0
y>1或y<-1
所以所求的函数值域(-∞,-1)∪(1,+∞)

Answer 2

f(x)=(10^x-10^(-x))/(10^x+10^(-x))
=(10^2x-1)/(10^2x +1) = 1 - 2/(10^2x+1)

10^2x>0 , 0<2/(10^2x+1)<2

值域是 （-1,1）