Question

高一函数问题！

1。设函数f（x）与g（x）的定义域是x属于R， 且x不等于±1，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）=1／（x＋1）求f（x）和g（x）解析式
2。已知g（x）=-x2-3，f（x）是二次函数，且f（x）＋g（x）为奇函数，当x属于[-1,2]时，f（x）的最小值为1，求f（x）的表达式

Answer 1

1、因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
所以，f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x)
因为f(x)+g(x)=1/(x+1).......(1)
所以f(-x)+g(-x)=1/(-x+1),那么f(x)-g(x)=1/(-x+1)......(2)
联立(1)、（2）
解得f(x)=1/(1-x^2)
g(x)=-x/(1-x^2)
2、因为f（x）为二次函数，设为f（x）=ax²+bx+c
首先，f(x)+g(x)是奇函数，设这个奇函数为T（x）
所以T（0）=0，又g(x)=-x²-3
代入得 T（0）=f（0）+g（0）=c-3=0
∴c=3 → f（x）=ax²+bx+3
奇函数T（x）有T(1)+T(-1)=0
代入得：T(1)+T(-1)=f（1）+g（1）+f（-1）+g（-1）
=a+b+3-4+a-b+3-4
=2a-2
=0
∴a=1 →f（x）=x²+bx+3 图像开口向上，对称轴为x=-b/2
（结合图像分类讨论）
①对称轴在-1左边，即x=-b/2＜-1时→b＞2
图像在x∈[-1,2]最小为x=-1时得到，
代入f（-1）=1-b+3=1， b=3＞2，成立；
②对称轴在[-1,2]之间时，-1≤-b/2≤2时→2≥b≥-4
图像x=-b/2时最小
代入f（-b/2）=b²/4-b²/2+3=-b²/4+3=1→b=±2√2（±2根号2）
又2≥b≥-4， 2√2＞2，舍去，-2√2符合，成立；
③对称轴在2右边，即边x=-b/2＞2时→b＜-4
图像在x∈[-1,2]最小为x=2时得到，
代入f（2）=4+2b+3=1b=-3＞-4，舍去。
综上所述，b取值为3或-2√2。
所以f（x）=x²+3x+3 或 f（x）=x²-2√2x+3。

Answer 2

2）因为f（x）为二次函数，设为f（x）=ax²+bx+c
首先，f(x)+g(x)是奇函数，设这个奇函数为T（x）
所以T（0）=0，又g(x)=-x²-3
代入得 T（0）=f（0）+g（0）=c-3=0
∴c=3 → f（x）=ax²+bx+3
奇函数T（x）有T(1)+T(-1)=0
代入得：T(1)+T(-1)=f（1）+g（1）+f（-1）+g（-1）
=a+b+3-4+a-b+3-4
=2a-2
=0
∴a=1 →f（x）=x²+bx+3 图像开口向上，对称轴为x=-b/2
（结合图像分类讨论）
①对称轴在-1左边，即x=-b/2＜-1时→b＞2
图像在x∈[-1,2]最小为x=-1时得到，
代入f（-1）=1-b+3=1， b=3＞2，成立；
②对称轴在[-1,2]之间时，-1≤-b/2≤2时→2≥b≥-4
图像x=-b/2时最小
代入f（-b/2）=b²/4-b²/2+3=-b²/4+3=1→b=±2√2（±2根号2）
又2≥b≥-4， 2√2＞2，舍去，-2√2符合，成立；
③对称轴在2右边，即边x=-b/2＞2时→b＜-4
图像在x∈[-1,2]最小为x=2时得到，
代入f（2）=4+2b+3=1b=-3＞-4，舍去。

综上所述，b取值为3或-2√2。

所以f（x）=x²+3x+3 或 f（x）=x²-2√2x+3。
1）f(x)+g(x)=1/(x-1)……①
以x换-x得：f(-x)+g(-x)=1/(-x-1)
因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以上式可化为：
f(x)-g(x)=1/(-x-1)……②
①＋②得：f(x)=1/(x²-1)
①-②得：g(x)=x/(x²-1).
先做的第二题 希望不要介意

Answer 3

1:因为f(x)+g(x)=1/(x+1) (1)

把x用-x代换掉，则f(-x)+g(-x)=1/(1-x)

因为x不等于±1，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数

则f(-x)+g(-x)=1/(1-x)可化为f(x)-g(x)=1/(1-x) (2)

[(1)+(2)]/2,得到f(x)=1/(1-x^2)

[(1)-(2)]/2,得到g(x)=x/(x^2-1)

定义域均为x≠1和-1且x∈R

2：因为f（x）是二次函数

设f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)

因为f（x）＋g（x）=(a-1)x^2+bx+c-3,由题目f（x）＋g（x）为奇函数可知a-1=0,c-3=0,即a=1,c=3

则f(x)=x^2+bx+3 开口朝上

因为当x属于[-1,2]时，f（x）的最小值为1

f(x)=x^2+bx+3的对称轴是直线x=-b/2

当-b/2∈[-1,2]时，最小值就是f(x)=f(-b/2)=3-b^2/4=1,则b=±2√2，因为-b/2∈[-1,2]，即b∈[-4,2],则b=-2√2

即f(x)=x^2-2√2x+3

当-b/2≤-1时，此时f(x)的最小值=f(-1)=-b+4=1,则b=3，符合条件-b/2≤-1，此时f(x)=x^2+3x+3

当-b/2≥2时，此时f(x)的最小值=f(2)=7+2b=1,则b=-3，不符合-b/2≥2，舍去

综上，f(x)=x^2-2√2x+3或f(x)=x^2+3x+3

Answer 4

1.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
因为 f(x)＋g(x)=1/(x＋1),f(-x)+g(-x)=1/(-x+1)，
两式相加得 2f(x)=[1/(x＋1)]+[1/(-x+1)]=2/(1-x^2)，
所以 f(x)=1/(1-x^2) (x≠±1)；
两式相减得 2g(x)=[1/(x＋1)]-[1/(-x+1)]=-2x/(1-x^2),
所以 g(x)=-x/(1-x^2) (x≠±1)。
2.设 f(x)=ax^2+bx+c,则 f(x)+g(x)=(a-1)x^2+bx+(c-3),
由 f(x)+g(x) 是奇函数，知和的偶次项系数为零，即有 a=1,c=3,b≠0.
所以 f(x)=x^2+bx+3.f(-1)=4-b,f(2)=7+2b. -b/(2a)=-b/2.
(1)若 -b/2≤-1，即 b≥2，则最小值为 f(-1)=4-b=1,得b=3;
(2)若 -b/2≥2, 即 b≤-4, 则最小值为 f(2)=7+2b=1, 得b=-3>-4,舍去；
(3)若 -1<-b/2<2，即 -4<b<2,
则最小值为 f(-b/2)=(b^2)/4-(b^2)/2+3=[-(b^2)/4]+3 =1 得 b=±2(√2),所以b=-2(√2).
由上可知，f(x)=x^2+3x+3.或 f(x)=x^2-2(√2)x+3.