Question

帮忙解答下面这道函数题，谢谢，请写下过程

设函数f（x）=根号（x²+1),它有没有反函数？若有，求出它的反函数；若没有，试改变这个函数的定义域后使它具有反函数

Answer 1

原函数没有反函数，改变定义域后就可以有反函数。

情况一
当 x ≥ 0 时，这个函数有反函数。

x = √(y² + 1)
x² = y² + 1
y² = x² - 1
y = √(x² - 1)

所以 当 x ≥ 0 时 ，f(x)=√(x² + 1) 有反函数 ，
反函数是 y = √(x² - 1) ( x ≥1 )

情况二：
当 x ≤ 0 时，这个函数有反函数。

x = √(y² + 1)
x² = y² + 1
y² = x² - 1
y = -√(x² - 1)

所以 当 x ≤ 0 时 ，f(x)=√(x² + 1) 有反函数 ，
反函数是 y = -√(x² - 1) ( x ≥1 )