Question

lim （n→∞）（1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n）=?

这道题下面给的做题步骤跟积分联系在一起了，还有x，怎么想也想不懂，答案是3，困扰了好久，希望有人能解答一下，谢谢喽！

Answer 1

和积分有啥关系，差分等比数列嘛
令
Sn=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n,则
1/2Sn=1/2^2+3/2^3+5/2^4+...+(2n-1)/2^(n+1)
两式相减
1/2Sn=1/2+2(1/2^2+1/2^3+...+1/2^n)-(2n-1)/2^(n+1)
则
1/2Sn=1/2+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
1/2Sn=1/2+1/2*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-(2n-1)/2^(n+1)
Sn=3-2*(1/2)^n-)-(2n-1)/2^(n+1)
则lim （n→∞）（1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n）=
lim （n→∞）3-2*(1/2)^n-)-(2n-1)/2^(n+1)
=3