Question

已知如图在四边形ABCD中,∠B=30°，∠C=60°，BC=8,DC=1，四边形ABCD的面积为5倍根号3，求AB的长

已知如图在四边形ABCD中,∠B=30°，∠C=60°，BC=8,DC=1，四边形ABCD的面积为5倍根号3，求AB的长

Answer 1

作AE⊥BC交BC于E，作DF⊥BC交BC于F，
所以四边形ABCD的面积可以分为△ABE,△DCF,和四边形AEFD的面积和
由题意，
设AB长为X，则AE=X/2,BE=3^(1/2)*X/2,
△ABE的面积=AE*BE/2=3^(1/2)*X^2/8 ①
DC=1,则CF=1/2,DF=3^(1/2)/2,
△DCF的面积=CF*DF/2=3^(1/2)/8 ②
因为AE⊥BC且DF⊥BC，所以四边形AEFD为平行四边形
EF=BC-BE-CF=8-3^(1/2)*X/2-1/2
所以四边形AEFD的面积=(AE+DF)*EF/2=[X/2+3^(1/2)/2]*[8-3^(1/2)*X/2-1/2
]/2=-3^(1/2)*[X^2-4*3^(1/2)X-15]/8 ③
由题意，①+②+③=5*3^(1/2)
即3^(1/2)*X^2/8+3^(1/2)/8+｛-3^(1/2)*[X^2-4*3^(1/2)X-15]/8｝=5*3^(1/2)
解得X=2*3^(1/2)即为AB的长