Question

等差数列an的前n项的和为Sn，且满足a3=10,S7=91,数列{bn+1-bn}的公比为1/2的等比数列，，且满足b1=1,b2=2

（1）求数列{bn}的通项公式
（2）记cn=a(n+1)b(n+1)-anbn，求数列{cn}中的最大项

Answer 1

解:

1、∵ An是等差数年列，则有A1+A7=A2+A6=A3+A5=2A4

∴S7=7A4=91

∴A4=13

∵A3=10

∴d=3

∴A1=A3-2d=4

∴An=4+3(n-1)=3n+1

再设Dn=Bn+1-Bn

∵ {B n+1 - B n}是公比为0.5的 等比数列，b1=1，b2=2

∴Dn=(B2-B1)*0.5^(n-1)=2^(1-n)

对Dn求和，则有SDn=(1-2^n)/(1-0.5)=2-2^(1-n)

即(Bn+1-B1)+(Bn-Bn-1)+...+(B1-B1)=Bn+1-B1=2-2^(1-n)

∴Bn+1=3-2^(1-n)，即Bn=3-2^(2-n) PS:我们卷子还要求An的，呵呵。

2、把An、Bn代入，则可求得

Cn=A n+1 B n+1 -A n Bn=9+(3n-2)*2^(1-n)=9+(6n-4)/2^n （具体化简单请自行作业，反正老师不看草稿纸）

对于此数列的最值问题，一般是用对其对n求导，就是证Cn在[1,2]上递增,在[2,+∞)上递减. n∈N*这样的话在n=2时Cn取最大值就没有问题了，但这样不好求，计算量太大！故改用代入法，即分别把n=1 2 3....等代入，得：C1=10 C2=11 C3=10.75 C4=10.25 ......
故最大项为第2项
我就是这样做的，老师给我满分，哈哈...

Answer 2

有等比数列的通项公式知bn+1-bn=1/2的n-1次幂，根据通项公式的求解方法中的类差法得bn=3-1/2的n-2次幂，有s7=91知7a4=91,所以a4=13,公差d=3,an=3n+1,写起来太费劲了，求cn，再研究cn的单调性就行