Question

求助一道高中数学题

设F1F2是椭圆E：X^2+y^2/b^2=1(0<b<1)的左右焦点，过F1的直线L与E相交于A、B两点，且|AF2| 、|AB|、 |BF2|成等差数列，若直线L的斜率为1，求b的值

Answer 1

由椭圆E：x²+(y²/b²)=1，可知a=1，b²+c²=1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由直线L的斜率为1，且过椭圆的左焦点(-c，0)，
得直线的方程为y=x+c，
与椭圆的方程联列方程组，消去y，
得关于x的方程：(b²+1)x²+2cx+c²-b²=0，
由根与系数的关系可知，
x1+x2= -2c/(b²+1)，x1x2=(c²-b²)/(b²+1).

∵|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，
∴2|AB|=|AF2|+|BF2|=(2a-|AF1|)+(2a-|BF1|)=4-|AB|，
∴|AB|=4/3.

由弦长公式，|AB|=√(1+k²)|x1-x2|，
∴(√2)|x1-x2|=4/3
|x1-x2|=(2√2)/3
(x1-x2)²=8/9
(x1+x2)²-4x1x2=8/9

将x1+x2= -2c/(b²+1)，x1x2=(c²-b²)/(b²+1)及c²=1-b²，(0<b<1)代入，
得b的值