Question

已知：如图点P是正方形的内点∠PAD=∠PDA=15° 求证：△PBC是正三角形

Answer 1

我看了一下答案

在正方形内作△ABE全等于△APD，易得AE＝PE，∠PAE＝60°，△PAE是等边三角形，∠AEP＝60°

作出的△ABE中∠AEB＝150°，∠BEP＝360-∠AEB-∠AEP＝150°，易证△BEP全等于△ABE，因为开始已经证明△ABE全等于△APD，所以AD等于BP，同理可证AD＝CP，所以AD＝CP＝BP＝BC，

所以△PBC是正三角形

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Answer 2

已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．专题：证明题．分析：在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．解答：证明：∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵∠PAD=∠PDA=15°，
∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，

在正方形内做△DGC与△ADP全等，
∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，
∴∠PDG=90°-15°-15°=60°，∠DGC=180°-15°-15°=150°，
∴△PDG为等边三角形，
∴DP=DG=PG，
∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC，
在△DGC和△PGC中
DG=PG∠DGC=∠PGCGC=GC​，
∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，
同理PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°-15°-15°=60°，
∴△PBC是正三角形．点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．