Question

已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二）

15度 打错了

Answer 1

你的题目漏写了一丁点儿，补充完整是：“P是……内点，∠PAD=∠PDA，∠APD=150°……”，据此可证明如下。
首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ， 连接PQ， 则
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，
显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。

追问

哦 那谢谢啦

追答

这一类的题目难点在于15°的条件用不上，但是它的逆命题却不难证明。用“同一法”奏效。
在ABCD内以BC为底作正△BCQ，容易证得∠AQB=∠DQC=75°，从而∠AQD=150°，
△AQD≌△APD，只要说明Q点和P点是同一点，就证明了△PBC是正三角形。

追问

你的数学这么好 加你好友吧

Answer 2

俊狼猎英团队为您解答：

 

在ΔABP内部作等边三角形APM，连接MB，则∠PAM=60°，AP=AM，

∴∠BAM=90°-60°-15°=15°。

∵AB=AD，∴ΔABM≌ΔADP(SAS)，

∴∠AMB=∠APD=180°-(15°+15°)=150°，∠ABM=∠ADP=15°，

∴∠BMP=360°-60°-150°=150°=∠AMB，

又MA=MP，MB=MB，

∴ΔABM≌ΔPBM，

∴PB=AB。(同理PC=BC也可以)，∠PBM=∠ABM=15°，

∴∠PBC=90°-(15°+15°)=60°，

又BC=AB=PB，

∴ΔPBC是等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形)。

Answer 3

1。如图
由已知，角EGO=EFO=90度，所以G、F在以OE为直径的圆上
由角CDO=90度，得点D在以OC为直径的圆上
而OC=OE，所以以上两圆是等圆。
又角COD+COB=GEF+COB=180度，得角COD=GEF
这两个角是两个等圆中的圆周角，而CD和GF分别是它们所对的弦，
所以CD=GF
2。假设三角形PBC不是正三角形，则必能在正方形内找一点Q，使三角形QBC是正三角形
如图，连接QB、QC，
则有QB=AB=QC=CD，角ABQ=DCQ=30度，
角BAQ=BQA=CDQ=CQD=75度
角QAD=QDA=15度
而角PAD=PDA=15度，
从而角QAD与PAD，角QDA与PDA重合，
从而点P与Q重合，三角形PBC与QBC重合
所以三角形PAB是正三角形。

追问

拜托 我看不懂啊 能不能用初二的方法

Answer 4

∠PAD＝∠PDA＝15度
所以∠PAB＝∠PDC＝75度，PA=PD
又因为四边形ABCD是正方形
所以DC=AB=BC
所以△PAB≌△PDC
所以PB=PC
所以角PBC=PCB
。。。。。。。。。。。
角BPC=60度。。。。。。。。。。。 好吧我不会

Answer 5

以bc为边，构造△bce和△abp或△dcp全等