若a、b、c为三角形ABC的三边,且a的二次方+b的二次方+c的二次方=ab+bc+ca,请说明三角形ABC是等边三角形
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证：
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
由于平方项恒非负，因此
a-b=0 a=b
b-c=0 b=c
c-a=0 c=a
a=b=c
三角形为等边三角形。
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
由于平方项恒非负，因此
a-b=0 a=b
b-c=0 b=c
c-a=0 c=a
a=b=c
三角形为等边三角形。
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