一道数学分析证明题(急)
数列{a(n)}单调递增,且lim(a(1)+a(2)+…+a(n))/n=a(n趋于无穷),求证:a(n)趋于a...
数列{a(n)}单调递增,且lim(a(1)+a(2)+…+a(n))/n = a (n趋于无穷),求证:a(n)趋于a
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证明:
① 往证 an 有界,an 收敛;
∵ lim(a(1)+a(2)+…+a(n))/n = a , 收敛数列必有界,
∴ 存在 M ,对任意n∈N ,(a(1)+a(2)+…+a(n))/n < M , 从而:
an/2 = (nan)/2n ≤(a(1)+a(2)+…+an+a(n+1)+...+a(2n))/2n < M
故:an 有界,又{a(n)}单调递增,所以{a(n)}收敛;
② 往证:lim(n->∞) an = a
设: lim(n->∞) an = c
则由Cauchy第一收敛定理:
lim(n->∞)(a(1)+a(2)+…+a(n))/n = c
故 lim(n->∞) an = a
【证毕】
【附:Cauchy第一收敛定理:】
lim(n->∞) an =a ,求证: lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
证明:
① 对任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
对 ε/2 >0 ,存在 N1,当n>N1时, |an-a|<ε/2,
令: M = 2(|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a| +1)/ε
则当 n > max{ M , N1} 时:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε
② 故存在 N = max{ [M] , N1} ∈Z+
③ 当 n>N 时,
④ 恒有: |(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立。
∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
{此定理也可直接利用 O'Stoltz 定理证明}
① 往证 an 有界,an 收敛;
∵ lim(a(1)+a(2)+…+a(n))/n = a , 收敛数列必有界,
∴ 存在 M ,对任意n∈N ,(a(1)+a(2)+…+a(n))/n < M , 从而:
an/2 = (nan)/2n ≤(a(1)+a(2)+…+an+a(n+1)+...+a(2n))/2n < M
故:an 有界,又{a(n)}单调递增,所以{a(n)}收敛;
② 往证:lim(n->∞) an = a
设: lim(n->∞) an = c
则由Cauchy第一收敛定理:
lim(n->∞)(a(1)+a(2)+…+a(n))/n = c
故 lim(n->∞) an = a
【证毕】
【附:Cauchy第一收敛定理:】
lim(n->∞) an =a ,求证: lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
证明:
① 对任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
对 ε/2 >0 ,存在 N1,当n>N1时, |an-a|<ε/2,
令: M = 2(|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a| +1)/ε
则当 n > max{ M , N1} 时:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε
② 故存在 N = max{ [M] , N1} ∈Z+
③ 当 n>N 时,
④ 恒有: |(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立。
∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
{此定理也可直接利用 O'Stoltz 定理证明}
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