Question

一道数学分析证明题（急）

数列{a(n)}单调递增，且lim（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n = a (n趋于无穷)，求证：a（n）趋于a

Answer 1

证明：
① 往证 an 有界，an 收敛；
∵ lim（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n = a , 收敛数列必有界，
∴ 存在 M ，对任意n∈N ，（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n < M , 从而：
an/2 = (nan)/2n ≤（a(1)+a(2)+…+an+a(n+1)+...+a(2n)）/2n < M
故：an 有界，又{a(n)}单调递增，所以{a(n)}收敛；

② 往证：lim(n->∞) an = a
设： lim(n->∞) an = c
则由Cauchy第一收敛定理：
lim(n->∞)（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n = c
故 lim(n->∞) an = a
【证毕】

【附：Cauchy第一收敛定理：】
lim(n->∞) an =a ,求证： lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a

证明：
① 对任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
对 ε/2 >0 ,存在 N1，当n>N1时, |an-a|<ε/2，
令: M = 2(|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a| +1)/ε
则当 n > max{ M , N1} 时:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε

② 故存在 N = max{ [M] , N1} ∈Z+

③ 当 n>N 时，

④ 恒有： |(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立。

∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a

{此定理也可直接利用 O'Stoltz 定理证明}